Capitolo 4

METODOLOGIA DEGLI ELEMENNTI FINITI

4.1 Metodo degli elementi finiti

Grazie allo sviluppo dei mezzi informatici sono nate e si sono diffuse in questi ultimi decenni diverse procedure di calcolo (metodo delle differenze finite, metodo degli elementi finiti, metodo degli elementi di contorno, metodi spettrali, metodo dei volumi finiti ecc.) che permettono di giungere ad una soluzione approssimata di un problema differenziale.
I metodi a cui ci riferiamo sono basati su logiche di discretizzazione del problema che ne riducono l'ordine di difficoltà di risoluzione trasformando il problema differenziale in sistemi algebrici risolubili in forma automatizzata.
Questi metodi mettono a disposizione dell'utente parametri su cui operare per regolare il grado di approssimazione della soluzione numerica ottenuta rispetto alla soluzione vera.
Spesso queste operazioni di discretizzazione comportano la gestione di un numero di incognite sensibilmente elevato; di qui la necessità di disporre di strumenti di calcolo adeguatamente potenti per rendere accettabili i tempi di attesa e di algoritmi molto efficienti per maneggiare questa mole di dati.
La tecnica degli elementi finiti consiste sostanzialmente nello schematizzare una struttura come un sistema di elementi, uniti tra loro per modellare strutture anche altamente complesse .
L'approssimazione del modello matematico, nei confronti del modello reale, sarà tanto più precisa quanto più fitta sarà la suddivisione degli elementi.
Il grande vantaggio di questo metodo è insito nel fatto che esso può essere applicato per modellare strutture a geometria complessa che non potevano essere risolte con i metodi tradizionali.
La tecnologia FEM, come del resto tutte le altre metodologie numeriche, è oggigiorno un supporto indispensabile alla progettazione meccanica, soprattutto nella prima fase di studio, in cui, sostituendosi alle usuali metodologie sperimentali, permette di ridurre notevolmente tempi e costi.
Naturalmente, come ogni tecnica che si basi su di un modello matematico, che è una approssimazione di quello reale, i risultati ottenuti dovranno essere opportunamente testati sulla base dei risultati forniti dall'elemento reale.

4.1.1 Elemento finito

L'elemento finito è una regione nella quale è definita una funzione interpolante, detta funzione di forma, dei valori assunti da una funzione in certi punti predefiniti di tale regione.
Generalmente l'interpolante è un polinomio algebrico ed i punti di interpolazione sono i vertici dell'elemento.
La dimensione dello spazio in cui è descritta l'interpolante, dà luogo ad elementi monodimensionali, bidimensionali e tridimensionali.
Nell'analisi strutturale ad ogni elemento finito è associata una matrice di rigidezza dell'elemento che, assemblata con quelle di tutti gli elementi che descrivono la struttura, dà luogo alla matrice di rigidezza totale della struttura.
Con il termine rigidezza si intende una relazione tra forza e spostamento.

4.1.2 Nodo

Il nodo è una entità geometrica definita nello spazio tridimensionale tramite le sue tre coordinate in un riferimento cartesiano unico per tutta la struttura, detto riferimento globale.
Ai nodi sono associati sei gradi di libertà. Tre traslazioni e tre rotazioni nel riferimento globale.
I nodi servono per definire la geometria della struttura (nodi nodali) o per introdurre gradi di libertà ausiliari utili al fine di descrivere opportunamente il campo di spostamento della struttura (nodi ausiliari).

4.1.3 Sistemi di riferimento

Il sistema di riferimento globale è un sistema di coordinate cartesiano ortogonale destrorso, comune a tutta la struttura , nel quale vengono descritte le posizioni di tutti i nodi della struttura.
Ogni elemento viene invece descritto in un proprio sistema di riferimento, detto appunto sistema di riferimento locale, che è generalmente il più pratico per la descrizione dell'elemento.
La matrice di rigidezza dell'elemento viene poi riferita al sistema globale così da poter essere assemblata alle altre matrici di rigidezza nella matrice di rigidezza globale.
Tutti i dati dell'elemento sono riferiti al sistema locale dell'elemento e quindi non dipendono dalla sua disposizione finale nella struttura.
Nel caso di elementi a solo due nodi (monodimensionali), la posizione dei due estremi del segmento nello spazio tridimensionale non è sufficiente a definire la posizione del sistema locale rispetto a quello globale: è necessario un terzo punto.
Per evitare che tale punto debba sempre essere assegnato dall'operatore, si assume un orientamento di default.

4.1.4 Gradi di libertà e vincoli

I gradi di libertà di una struttura sono variabili indipendenti necessarie per descrivere univocamente la configurazione deformata, o campo di spostamento, della struttura.
Un vincolo si riferisce, nei termini del modello della struttura, ad un grado di libertà per il quale si assume che lo spostamento sia nullo.
Quando un grado di libertà è vincolato, le relative equazioni non vengono assemblate nella matrice di rigidezza globale.
Qualora per un nodo non sia associata rigidezza per uno o più gradi di libertà, tale grado di libertà deve essere eliminato dal problema: ciò si ottiene vincolando il grado di libertà corrispondente.
L'omissione di vincoli appropriati può dar luogo a matrici singolari o a labilità del nodo.
Da questo si nota una differenza tra vincolo nella terminologia strutturale (spostamento impedito) e vincolo nella terminologia degli elementi finiti (eliminazione di variabile).

4.1.5 Matrici di rigidezza

La matrice di rigidezza dell'elemento è una matrice che mette in relazione gli spostamenti e le forze relativamente a tutti i gradi di libertà dell'elemento, questa è definita nel sistema di riferimento locale dell'elemento.
Per poter aggiungere il contributo della matrice di rigidezza dell'elemento alla matrice di rigidezza globale, definita dal riferimento globale della struttura, viene effettuata una rotazione della matrice di rigidezza dell'elemento.
L'operazione di costruzione della matrice di rigidezza globale tramite somma dei contributi delle matrici di rigidezza dei singoli elementi è detta "assemblaggio della matrice di rigidezza".
L'obiettivo è quello di scrivere per un certo numero di elementi significativi la relazione di rigidezza:

e di poter scrivere delle relazioni che permettano di esprimere il campo degli spostamenti, delle deformazioni e delle tensioni in tutto l'elemento, a partire dai valori degli spostamenti nodali.
4.2 Programma di calcolo

Il programma di calcolo utilizzato per l'analisi agli elementi finiti è ANSYS Multiphysics versione 5.5, prodotto dalla Swanson Analysis Systems, con sede a Houston in Pennsylvenia.
Tale software è disponibile per le maggiori piattaforme e per i più diffusi sistemi operativi, dal personal computer, alla workstation ai supercomputers.
L'interfaccia con i sistemi CAD avviene attraverso il DDA (Design Data Access) che permette di importare i modelli dai principali sistemi CAD in commercio.
Le potenzialità di tale software sono variegate e notevoli, consentendo di affrontare la soluzione relativamente a problemi di:

a) analisi strutturale lineare:
· sforzi e deformazioni lineari;
· sottostrutturazione (creazione e manipolazione di macroelementi);

b) analisi strutturale non lineare:
· non linearità geometriche (grandi rotazioni, grandi deformazioni, ecc.);
· non linearità di materiale (es. plasticità, materiali non convenzionali, ecc.);
· non linearità di contatto (contatti tra superfici, urti, ecc.);

c) analisi dinamica:
· modale (determinazione di frequenze e modi di vibrare);
· spettrale (strutture sottoposte a fenomeni caratterizzati da uno spettro - es. terremoti, moti ondosi, ecc.);
· armonica (risposta in frequenza);

d) analisi strutturale transitoria:
· lineare;
· non lineare;

e) analisi di buckling:
· lineare;
· non lineare;

f) analisi termica:
· stazionaria e transitoria;
· conduzione, convezione e irraggiamento;
· cambiamento di fase;

g) analisi fluidodinamica:
· stazionaria e transitoria;
· comprimibile e incomprimibile;
· flusso laminare e turbolento;
· convezione naturale e forzata;
· modelli di viscosità newtoniani e non newtoniani;

h) analisi elettromagnetica:
· magnetostatica;
· transitoria a bassa frequenza;
· armonica a bassa frequenza;
· accoppiamento circuitale;
· conduzione di corrente;
· elettrostatica;
· modale ad alta frequenza;
· scattering;

i) analisi accoppiate:
· acustica;
· acustica/strutturale;
· elettrica/magnetica;
· fluido/strutturale;
· fluido/termica;
· magneto/fluidodinamica;
· magneto/strutturale;
· megneto/termica;
· piezoelettrica;
· termo/elettrica;
· termo/strutturale;
· elettro/magneto/termo/strutturale.

Per quanto riguarda lo svolgimento del lavoro, questo si divide in tre fasi principali:

i. preprocessor (fase di preparazione): nel corso di questa fase si genera il modello matematico che descrive in modo discreto la struttura in esame.
La sequenza logica delle operazioni da eseguire è la seguente:

a. selezione dei tipi di elemento che verranno utilizzati, ciascun elemento è caratterizzato dal numero di nodi, dai gradi di libertà associati a ciascun nodo, nonchè da alcune costanti caratteristiche;

b. definizione delle proprietà dei materiali;

c. definizione della geometria del modello: si può operare direttamente, definendo: keypoints, linee, aree, volumi, oppure importare modelli geometrici generati da programmi CAD attraverso il DDA (Design Data Access) o attraverso i formati IGES, SAT, PARASOLID;

d. generazione della mesh, cioè la griglia di elementi in cui viene suddivisa la struttura;

ii. solution (fase di calcolo e di risoluzione): in tale fase vengono introdotte le condizioni al contorno, come carichi e vincoli, e viene scelta la modalità di risoluzione del sistema di equazioni;

iii. postprocessor (fase di presentazione dei risultati): in tale fase si ha la presentazione dei risultati ottenuti, vale a dire sforzi, deformazioni, spostamenti, distribuzioni di temperatura, etc., visualizzabili sia in forma matriciale che per via grafica.

Ad ognuna di queste fasi è associata un'apposita routine del programma; esse sono:

/Prep7 per la fase di Preprocessor;
/Solution per la fase di Solution;
/Post1 per la fase di Postprocessor.

Figura 4-1: Sottocartelle del Main Menu di ANSYS 55.

ANSYS ha al suo interno due tecnologie di ottimizzazione:

i. design optimization: opera sui parametri che definiscono il modello; si stabiliscono i limiti superiori ed inferiori delle variabili indipendenti, si definiscono i vincoli tra i parametri e infine si identifica il funzionale da ottimizzare.
ANSYS mette a disposizione diversi algoritmi di tipo convenzionale per far fronte alle diverse esigenze.

ii. topological optimization: interviene sulla topologia della struttura dando indicazioni al progettista su quali sono le parti strutturali che lavorano e quelle che invece possono essere semplificate o eliminate perché superflue.

4.3 Definizione del tipo di elementi

Di seguito verranno analizzati alcuni elementi bidimensionali e tridimensionali, facenti parte della ben più ampia libreria degli elementi di ANSYS, che verranno utilizzati nell'elaborazione del modello in esame.
(Rappresentazione grafica degli elementi tratta dalla funzione help del programma)
4.2.1 Plane 42

L' elemento Plane 42 è utilizzato per discretizzare strutture solide nel piano e può essere usato sia come elemento piano che come elemento assialsimmetrico.
E' definito da quattro nodi, ciascuno dei quali ha due gradi di libertà nelle direzioni x e y.
Per definire Plane 42 occorre assegnare le dimensioni dell'elemento e le proprietà fisiche come il modulo elastico (Young) ed il modulo di Poisson.
ANSYS 5.5 prevede anche l'uso di un elemento Plane 42 degenere, ovvero di forma triangolare, ma questo non è consigliato, per evitare problemi nella generazione delle mesh.
Nel caso si presenti la necessità di utilizzare un elemento con queste caratteristiche, è maggiormente indicato il Plane 82, la cui configurazione degenere non presenta problemi.
Gli input richiesti da questo elemento sono i quattro nodi, lo spessore (facoltativo) e le proprietà del materiale isotropo.

Figura 4-2: Elemento Plane 42.
L'elemento Plane 42 presenta le seguenti opzioni:

KEYOPT(1) 0 - sistema di riferimento parallelo a quello globale;
1 - sistema di riferimento basato sulla congiungente I-J;

KEYOPT(2) 0 - ammette forme degeneri;
1 - non ammette forme degeneri;

KEYOPT(3) 0 - tensioni piane;
1 - assialsimmetria;
2 - deformazioni piane (deformazioni lungo z = 0);
3 - tensioni piane fornendo un valore di spessore;

KEYOPT(5) - (6) 0 - relativi alla rappresentazione grafica degli elementi.

4.3.2 Solid 45

L'elemento Solid 45 è utilizzato per la modellazione di strutture solide tridimensionali.
Esso è un elemento a forma di parallelepipedo (ma può essere anche a forma tetraedrica o prismatica), definito da otto nodi, ciascuno dei quali ha tre gradi di libertà nelle direzioni x, y, z.

Figura 4-3: Elemento Solid 45.

Per definire Solid 45 occorre assegnare le proprietà fisiche del materiale e le costanti reali.

Figura 4-4: Orientamento degli sforzi per l'elemento Solid 45.

L'elemento Solid 45 presenta le seguenti opzioni:

KEYOPT(1) 0 - ammette forme degeneri;
1 - non ammette forme degeneri;

KEYOPT(4) 0 - sistema di riferimento parallelo a quello globale;
1 - sistema di riferimento basato sulla congiungente I-J;

KEYOPT(5) - (6) 0 - relativi alla rappresentazione grafica degli elementi.

4.3.3 Solid 72 e solid 92

L'elemento Solid 92 viene utilizzato per la meshatura di modelli con geometria irregolare
Ha una forma tetraedrica a dieci nodi, con tre gradi di libertà per ogni nodo, nelle direzioni x, y, z.
A secondo dei casi può essere sostituito dal Solid 72, il quale non presentando i nodi di metà lato, consente dei tempi più rapidi nella fase di soluzione.

Figura 4-5: Elemento Solid 92.

Anche essi hanno una geometria tetraedrica e sono rappresentati da quattro nodi con sei gradi di libertà per ciascun nodo (traslazioni lungo le direzioni x, y, z e rotazione attorno agli assi x, y, z).
Sebbene i Solid 72 abbiano più gradi di libertà rispetto ai Solid 92, in certi casi possono fornire una analisi meno accurata.

Figura 4-6: Elemento Solid 72.

4.3.4 Link 11

L'elemento Link 11 può essere usato per modellare cilindri idraulici, o in altre applicazioni in cui vi siano compressioni e rotazioni.
Esso è rappresentato da un'asta con due nodi, ciascuno dei quali con tre gradi di libertà lungo le direzioni x, y, z.

Figura 4-7: Elemento Link 11.

Per definire Link 11 occorre assegnare la rigidezza, la viscosità e la massa che è suddivisa ugualmente tra i due nodi.
La lunghezza originale dell'elemento viene calcolata in relazione alla posizione dei nodi e nessun effetto di torsione viene considerato.

4.4 Meshatura e suo infittimento

La generazione delle mesh si divide in tre fasi:

i. Definizione dell'elemento da utilizzare;
ii. Definizione dell'opzione di controllo della mesh;
iii. Generazione della mesh.

La seconda operazione non è sempre necessaria in quanto per un numero elevato di elementi esiste di default un sistema di controllo.
Se durante l' elaborazione vengono originati degli elementi con forma degenere, l'utente viene avvisato con un messaggio di allarme che indica il numero di tali elementi.
Se questi elementi degeneri vengono considerati causa di possibili errori, il programma provvede ad avvisare con un messaggio di errore, il quale indica qual è l'elemento non ammesso e quale potrebbe essere un elemento sostitutivo.
Prima di procedere con la meshatura bisogna stabilire se questa dovrà essere libera o mappata.

Figura 4-8: Esempio di meshatura libera e mappata.
La mesh libera non impone delle restrizioni sulla forma degli elementi, mentre una mappata si avvale dei soli elementi specificati, con una precisa forma.
Un'area con mesh mappata contiene solo elementi triangolari o quadrilateri, mentre un volume conterrà solo elementi esaedrici.
Se si vuole ottenere una mesh mappata si deve costruire una geometria come un insieme di aree regolari, così facendo si avrà una disposizione regolare degli elementi, secondo delle righe.

La dimensione di ogni elemento potrà essere quella di default oppure scelta dall'utente attraverso una corretta suddivisione delle linee, delle aree, o dei volumi che delimitano le zone da meshare.
Il numero di elementi è proporzionale al numero di nodi, tuttavia dei due il secondo è il fattore più significativo in quanto il numero delle incognite (e quindi la dimensione del sistema da risolvere) è direttamente proporzionale alla quantità di nodi.
E' consigliabile ricorrere a mesh quanto più possibile quadrangolari e, qualora sia necessario inserire elementi triangolari, è meglio farlo in zone in cui non si hanno elevati gradienti di sforzo, le osservazioni fatte possono essere estese agli elementi tridimensionali, confrontando i tetraedri con gli esaedri.
La qualità dell'elemento tende a scadere quando l'angolo tra due lati adiacenti si avvicina ai 180°, valore teoricamente limite per avere una matrice di rigidezza dell'elemento che sia definita positiva, cioè matematicamente "accettabile".
Anche la presenza di elementi con quattro angoli retti ma con due lati molto più lunghi degli altri due è in genere da evitare.

Figura 4-9: Esempio di infittimento mesh.

A volte in prossimità di zone di contatto o in zone strutturalmente più importanti può essere necessario infittire la mesh.
Tale infittimento può essere esteso a tutta l'area, solo a qualche elemento o a qualche linea, questo grazie all'opzione modify mesh dopo averla creata in condizioni standard.
Altro modo è quello di infittire i nodi in prossimità degli estremi delle linee che determinano l'area interessata, questo risultato si ottiene con il comando space che indica il rapporto tra la lunghezza dell'ultimo elemento della linea ed il primo.
Impostando un valore maggiore di uno le suddivisioni si diradano, se invece è minore di uno le suddivisioni si infittiscono; se si vuole infittire verso il centro della linea si deve imporre un valore negativo, in questo caso, il valore introdotto, indica il rapporto tra la lunghezza dell'elemento centrale e quella dell'elemento più esterno.

4.5 Realizzazione modello FEM

Prima di procedere con la realizzazione del trasduttore si è effettuata, con l'utilizzo del programma ANSYS 5.5, una stima delle deformazioni nel sottovolume della torretta interna alla bussola.
La rotaia è quindi stata discretizzata, per una lunghezza di 1140 cm, pari a 19 campate, con elementi 3d, ed i carichi sono stati applicati lateralmente e verticalmente in diversi punti del fungo della rotaia, muovendosi sia trasversalmente che longitudinalmente sulla rotaia, al fine di valutare la sensibilità della deformazione all'allontanarsi dalla zona in esame.
I supporti della rotaia: traverse, railpad e ballast sono stati discretizzati, utilizzando in modo appropriato degli elementi molla Link 11, come un letto di molle con rigidezza pari a:

· rigidezza verticale ballast = 100 MN/m

· rigidezza verticale railpad = 71 MN/m

· rigidezza laterale ballast = 80 MN/m

· rigidezza laterale railpad = 50 MN/m

Fonte - note Kb [MN/m] Kp [MN/m]
[ 2 ] Su rotaia UIC 60. 100 71
[ 15 ] Su modello dinamico con stato continuo di molle e masse. 44 250
[ 16 ] Si riferiscono a misure dinamiche su rotaia UIC 60 e traversine in ca e spaziatura 60 cm. 70 350
[ 17 ] Su rotaia UIC 60 e traversine in ca e spaziatura 60 cm di media rigidezza. 50 350
[ 18 ] Su rotaia UIC 60. Ktot = 280e8 [N/m]
[ 19 ] Su rotaia UIC 56 e traversine in ca. 70 280

Tabella 4.1: Valori delle rigidezze verticali ballast e railpad in letteratura.

Fonte - note Kb [MN/m] Kp [MN/m]
[ 15 ] Su modello dinamico con stato continuo di molle e masse. 39.6 50
[ 16 ] Si riferiscono a misure dinamiche su rotaia UIC 60 e traversine in ca e spaziatura 60 cm. 110 50
[ 17 ] Su rotaia UIC 60 e traversine in ca e spaziatura 60 cm di media rigidezza. 80 50

Tabella 4.2: Valori delle rigidezze laterali ballast e railpad in letteratura.

4.5.1 Realizzazione del profilo 2D della rotaia

All'interno della subroutine preprocessor, tramite l'interfaccia con un sistema CAD è stato possibile impostare il valore limite della sagoma frontale di una rotaia UIC 60.
Sul modello così ottenuto è stata realizzata una corretta suddivisione delle linee e delle aree al fine di ottenere una meshatura il più possibile lineare, con un maggior infittimento nella zona centrale del gambo, in corrispondenza del volume in esame.
Si è proceduto con una suddivisione manuale delle linee, che, a differenza di quella automatica, consente di controllare la forma ed il numero degli elementi.

Figura 4-10: Sezione della rotaia con suddivisione delle linee e dei volumi.

Si è in tal modo suddivisa ogni linea in un certo numero di intervalli a lunghezza variabile, corrispondente alle dimensioni desiderate di ogni singolo elemento.
Effettuata tale operazione per ogni linea, avente ciascuna un proprio numero di suddivisioni, si è potuto meshare automaticamente la struttura.
A questo punto per valutarne la correttezza, non è stata utilizzata una meshatura a "ragnatela", la quale avrebbe generato degli elementi triangolari, ma si è imposto l'utilizzo dell'elemento Plane 42 in configurazione mappata, che ha generato la mesh riportata in figura 4.11.

4.5.2 Realizzazione del modello 3D forato

Tramite la funzione Estrude/sweep è stato possibile creare un modello 3D della lunghezza desiderata, basandosi sul modello 2D precedentemente generato.
Al volume così ottenuto si è sottratto il volume del cilindro rappresentante la bussola del trasduttore in esame.

Figura 4-11: Sezione della rotaia meshata con elementi plane 42.

La meshatura della struttura realizzata è stata prodotta con l'elemento Solid 45 in configurazione mappata, avendo l'accortezza di ottenere una mesh più fitta nei volumi in prossimità del foro

Figura 4-12: Particolare del modello 3D della rotaia forata,
meshata con elementi Solid 45.
4.5.3 Realizzazione della torretta interna alla bussola

La fase di modellizzazione della torretta interna al foro, è stata particolarmente laboriosa, non tanto per la rappresentazione grafica del prisma a base quadrata, quanto nella successiva operazione di meshatura.
In un primo momento si era pensato di meshare l'intera struttura con elementi Solid 92, che con la loro forma tetraedrica a 10 nodi , con tre gradi di libertà per ogni nodo, si presentano particolarmente indicati per la geometria irregolare della zona foro-torretta.
Questo modello pur non creando alcun problema "matematico" nella fase di soluzione, dava origine ad un numero elevato di elementi, alcuni dei quali con geometria distorta, il che avrebbe prolungato i tempi di soluzione.

Figura 4-13: Modello FEM mestato dell'elemento in esame

Si è pertanto optato per una suddivisione in tre volumi del profilo longitudinale della rotaia, in tal modo è stato possibile meshare i volumi del bulbo e della base con l'elemento Solid 45 in configurazione mappata, ed il volume del gambo all'altezza del foro con l'elemento Solid 92 in configurazione libera.
Il modello finale ottenuto è rappresentato in figura 4.13.

4.5.4 Applicazione forze e vincoli

Una volta creata la geometria del modello si possono fissare, nella subroutine solution, le opportune condizioni di vincolo ed applicare i carichi.
Come già accennato i supporti della rotaia sono stati discretizzati come un letto di molle nella zona di contatto rotaia-railpad, utilizzando l'elemento molla Link11.
Al fine di ottenere una misura più corretta si è imposto un numero di vincoli maggiori in corrispondenza delle quattro traverse più vicine al volume in esame.

Figura 4-14: Forze e vincoli sulla struttura esaminata.

Per non avere una struttura labile si è provveduto a vincolare i nodi liberi degli elementi Link11 e le due facce della rotaia, impedendo ad essi gli spostamenti lungo le direzioni x, y, z.
Il modello così ottenuto presenta le seguenti caratteristiche:

· 75143 nodi

· 73561 elementi

Otto elementi si presentano in configurazione distorta, provocando un messaggio di allarme.
Questa condizione non causa problemi di errore nell'analisi del prisma a sezione quadrata, essendo questi elementi parte di un volume non valutato.

L'applicazione delle forze Q ed Y che sollecitano la struttura è stata ripetuta più volte, in diversi punti del bulbo della rotaia, al fine di modellizzare diverse situazioni di contatto ruota rotaia.