ANALISI DEI CARICHI E IDEAZIONE
NUOVO TRASDUTTORE

3.1 Descrizione generale

La rotaia viene considerata come una trave a sezione costante, poggiata su vincoli cedevoli: le traversine, le cui sollecitazioni esterne possono essere suddivise in forze normali e in forze parallele all'asse.
Le forze normali all'asse sono costituite essenzialmente dai carichi trasmessi dagli assali in rettifilo e in curva, dalle reazioni delle traversine e dalle forze dovute alla nascita di moti di serpeggio con conseguenti oscillazioni trasversali del materiale rotabile.
Le forze parallele all' asse sono dovute allo sforzo di trazione ai cerchioni, dalla frenatura e dalle variazioni termiche.

Come riportato in figura 3.1 le sollecitazioni esterne sono riassumibili in:

· una forza verticale Q, che genera sforzi di taglio e momenti flettenti sul piano verticale della rotaia, il cui punto di applicazione non risulta essere centrato sul bulbo della rotaia, questo perché le rotaie vengono posate con una piccola inclinazione (1 : 20 in Italia e 1 : 40 nel resto d'Europa) ed inoltre il punto di contatto si sposta in funzione della posizione laterale della sala e del profilo della ruota;
· una forza laterale Y, che genera sforzi di taglio e momenti flettenti sul piano orizzontale, oltre che torsione lungo l'asse della rotaia;
· una forza longitudinale X.

La rotaia è quindi interessata da tensioni di compressione e flessione date dalle forze verticali, tensioni di flessione date dalle forze laterali e tensioni di torsione date dalle forze verticali e laterali che agiscono disassate rispetto agli assi neutri.

Figura 3-1 : Distribuzione delle forze sulla sezione trasversale della rotaia.

Figura 3-2 : Diagrammi di sforzo.

3.2 Descrizione di calcolo.

In letteratura vengono esposti diversi metodi per il calcolo della rotaia, qui di seguito si riportano i più noti. [1]

3.2.1 Metodo Winkler

Winkler considera la rotaia come una trave continua di lunghezza infinita, sostenuta da appoggi isolati, non cedevoli, e con una serie di carichi Q uguali e disposti in modo che in un intervallo tra due traverse non se ne trovi più di uno.

Figura 3-3 : Modello Winkler

Il valore massimo del momento rilevato corrisponde a:

Mmax = 0.18888 × a × Q (3.1)

Questa ipotesi è assai approssimativa per il fatto che gli appoggi non sono rigidi, ma cedevoli e che la distanza tra i carichi non è generalmente pari a quella assunta.
Il fatto di assumere vincoli fissi porta al calcolo di un valore di momento inferiore a quello reale.

3.2.2 Metodo Zimmermann

Il modello in questione tiene conto dei cedimenti delle traverse sulla massicciata e quindi dell' asse della rotaia, supponendo che gli abbassamenti degli appoggi siano proporzionali alle pressioni agenti.

Natura del sottofondo Terreno fangoso Terreno buono Roccia o terreno asciutto e compatto
Massicciata in ghiaia 50 100 150
Massicciata in pietrisco 50 150 250

Tabella 3.1: Valori del coefficiente k in N/cm3 pei i diversi tipi di sottofondo.

Indicando con R la reazione di un appoggio, con y l'abbassamento, con b la larghezza della traversa e con l la sua semilunghezza, senza considerare la deformazione della traversa, si ottiene:

(3.2)

con k il coefficiente di piattaforma, il cui valore varia con il tipo di massicciata e con la natura del sottofondo in un intervallo variabile tra 50 e 250 N/cm3.

Sono stati considerati in particolare tre casi di sollecitazione: con due, quattro e tre campate, con carichi posti sugli appoggi, nel primo e nel secondo caso e nella mezzeria di una campata nel terzo caso.

1° caso - La trave è considerata continua a due sole campate eguali e di lunghezza a, con un solo carico applicato Q sull' appoggio centrale.

Figura 3-4 : Metodo Zimmermann a due campate.

Il valore massimo di momento si registra appunto sull'appoggio centrale e risulta essere :

(3.3)

(3.4)

in cui y descrive la caratteristica elastica del binario, e si definisce come il rapporto tra B modulo di rigidità della rotaia e D modulo di cedevolezza della traversa.

con:

ER = modulo di elasticità della rotaia;
IR = momento d' inerzia della rotaia;
k = coefficiente della piattaforma;
b = larghezza della traversa;
lt = lunghezza caratteristica della traversa;
ET = modulo di elasticità della traversa;
IT = momento d' inerzia della traversa;

(3.5)

indicando con l la semilunghezza della traversina e con r la distanza dei carichi dalla mezzeria della traversa, che per linee a scartamento ordinario vale 75 cm.

2° caso - La rotaia è considerata come una trave continua a quattro campate con i carichi Q in corrispondenza del secondo e del quarto appoggio.
Il momento flettente massimo risulta:

(3.8)

Figura 3-5 : Metodo Zimmermann a quattro campate.

3° caso - Si considera la trave formata da tre campate, di cui quella intermedia sollecitata in mezzeria dal carico Q:

(3.9)

Figura 3-6 : Metodo Zimmermann a tre campate.

Quest' ultimo caso rappresenta la condizione più critica rilevando i valori più elevati di sollecitazione.

3.2.3 Altri metodi di calcolo

Un possibile errore di calcolo del metodo Zimmermann è dovuto al fatto che non permette di considerare le effettive condizioni di carico.

Il metodo Timoshenko-Saller-Hanker è basato sull'osservazione che, nei casi pratici, l'inflessione della rotaia tra due traverse è trascurabile rispetto all'abbassamento totale dovuto alla cedevolezza della fondazione (il rapporto varia tra 1 : 10 e 1 : 20), pertanto è ammissibile considerare idealmente l'appoggio continuo il cui effetto sulle rotaie corrisponde a quello della reale struttura a traverse.

Il calcolo Vogel, basandosi sulle teorie precedenti, considera le seguenti condizioni, presentandosi come uno dei calcoli più completi:

· le rotaie sono inclinate, quindi varia la determinazione della distanza r dalla mezzeria della traversa.

(3.10)
essendo:

s lo scostamento;
c la larghezza del fungo misurata 14 mm al di sotto del piano del ferro;
H l'altezza della sezione trasversale della rotaia;

· le traverse nella zona centrale non sono rincalzate per una zona di data larghezza;
· l' influenza della suola della rotaia.

3.3 Stabilità trasversale della rotaia.

Talvolta può verificarsi il rischio che la rotaia possa perdere la propria configurazione normale, per assumerne una, deformata rispetto alla precedente, per instabilità del suo equilibrio elastico.
Questo può essere determinato dall'azione di forze orizzontali trasmesse dai rotabili in transito, o da un salto termico consistente che fa in modo che la rotaia risulti compressa assialmente.
L'impostazione generale del problema relativo all'instabilità dell'equilibrio del binario, nella sua formulazione classica è fornita dalla teoria euleriana (problema del carico di punta); i valori che si ottengono, però, risultano molto bassi in quanto si trascura l'effetto della resistenza offerta dal mezzo in cui il binario si trova immerso.
Altri metodi si basano sull'equivalenza del lavoro delle forze esterne con il potenziale elastico del sistema (metodo energetico), cioè considerando la condizione di equilibrio di un elemento di una rotaia mettendo in conto tutte le azioni cui esso è sottoposto (sforzi assiali risultanti da dilatazione impedita, coppia di incastro agli attacchi, resistenza trasversale del ballast, influenza delle azioni dinamiche dei carichi, ecc.).
L'utilizzo del metodo energetico richiede che venga fissata la forma della linea elastica, che può essere ipotizzata a partire dalle applicazioni fatte su binari in cui si è verificato lo slineamento.
Come detto in precedenza, la rotaia viene considerata, da un punto di vista strutturale come una trave continua su appoggi discreti, attraverso i quali si esercita la reazione orizzontale del ballast.
Altri studiosi, invece, ammettendo con certa approssimazione la continuità della reazione offerta dal ballast, identificano il sistema rotaie-traverse ad una trave Vierendel a nodi cedevoli, cioè ad una trave reticolare piatta.

Secondo Sabatini, [1] ammettendo che:

· la resistenza ra dello spostamento longitudinale per unità di lunghezza, sia costante;

· la resistenza allo spostamento trasversale risulti variabile secondo la legge di Winkler;

· la deformazione della rotaia avvenga secondo una funzione sinusoidale predefinita, con un numero d'onda pari o dispari;

si può ricavare il valore della lunghezza critica della rotaia, cioè quel valore che per effetto di una variazione termica, presenta il pericolo di una inflessione laterale:

(3.11)

in cui k è il modulo di cedimento trasversale del binario per unità di lunghezza, E il modulo di elasticità longitudinale ed I il momento d'inerzia del binario con asse neutro verticale.
L'instabilità laterale si verifica a causa di una variazione termica DT maggiore del valore fornito dalla seguente formula:

(3.12)

con DT l'aumento della temperatura rispetto all'atto della posa, a il coefficiente di dilatazione lineare ed A pari a due volte l'area della sezione della rotaia.

Altro metodo, forse più aderente al fenomeno reale, è quello fornito da Dei Poli in cui si ipotizza che la reazione ra cresca in un primo tempo linearmente, per poi mantenersi costante e uguale al valore dell'attrito di strisciamento.
Si ottiene, così, una funzione dilatatrice et, le cui variazioni possono essere messe in relazione con gli spostamenti laterali massimi dalla configurazione iniziale:

Questa funzione presenta l'andamento mostrato in figura 3-6, il passaggio dal massimo al minimo avviene in maniera repentina, tale da determinare il dissesto del binario.

Figura 3-7 : Andamento di et in funzione di y che lega la dilatazione unitaria della rotaia con lo scostamento laterale rilevato sperimentalmente.

Le teorie fin qui esposte, pur descrivendo alcune situazioni di instabilità, non possono avere la presunzione di fornire indicazioni concrete, pertanto, si è sentita la necessità di intraprendere una campagna di prove sperimentali, al fine di determinare la reale entità delle grandezze in gioco (a cura dell' S.N.C.F. sul territorio francese a Vitry-sur-Seine).
E' stata così ottenuta la deformata della rotaia per uno sforzo trasversale Y esercitato nel punto C, come riportato in figura 3-7.

Figura 3-8 : Deformata di una rotaia con carico Y applicato nel punto C.

Le verifiche si sono divise in tre categorie:

i. prove statiche su binari scarichi sottoposti all'azione di una forza orizzontale Y ed una variazione termica uniforme;
ii. prove su binari carichi sottoposti all'azione contemporanea di un carico verticale Q, uno sforzo orizzontale Y ed una variazione termica uniforme;
iii. prove su binari scarichi sottoposti solo a variazione termica.

Figura 3-9 : Andamento dello scostamento d in funzione dell'entità
dello sforzo trasversale H: nel caso di un modesto valore di DT (a)
e nel caso di un elevato valore di DT (b).

I dati rilevati hanno fornito le seguenti indicazioni:

· la zona AB, detta controfreccia, con deformazioni opposte ad Y, risulta più accentuata con sollecitazioni termiche elevate;

· la lunghezza d'onda della deformata ( ) diminuisce all'aumentare del salto termico DT, a parità di sforzo Y applicato, mentre aumenta al crescere di Y con DT costante;

· la zona interessata dall'onda principale varia da 2.4 a 3.2 metri, interessando non più di sei traverse con interasse di 60 centimetri;

· le curve H = f (d) permettono di definire il valore critico Hc dello sforzo trasversale come quello che limita il campo delle piccole deformazioni residue;

· lo stato di sollecitazione termica ha poca influenza sul valore di Hc anche se il salto termico è elevato;

· lo sforzo trasversale critico Yc, varia quasi linearmente con il carico trasversale Q e con il transito dei rotabili;

· l'ampiezza della deformazione dc, relativa al carico critico aumenta col salto termico ma diminuisce notevolmente con il grado di stabilizzazione del ballast;

· operando a sforzo trasversale costante si rileva che in un primo campo di valori di Y si ha tendenza ad una stabilizzazione, mentre per valori di H più elevati si hanno ampiezze di deformazione dc sempre più crescenti.

3.4 Ideazione del nuovo trasduttore

In base alle considerazioni riportate nel presente lavoro, si è pensato di sviluppare un trasduttore per la misura del carico verticale Q, del carico laterale Y, dovuti al transito di rotabili sulla linea ferroviaria, e della deformazione longitudinale causata dalla dilatazione termica della rotaia.

Avendo stabilito che le due forze Q ed Y creano degli sforzi di taglio sulla rotaia lungo due distinte direzioni, si è pensato di valutare una porzione di volume interna al gambo della rotaia, realizzando una bussola cilindrica da inserire in un foro passante ricavato nel gambo stesso.

L'operazione di foratura delle rotaie è consentita dalla norma UNI 3141, aprile 1991 - rotaie per linee ferroviarie - tipi, dimensioni, tolleranze, in cui si riportano le seguenti indicazioni:

i fori devono essere eseguiti esclusivamente con macchina utensile ad asportazione di truciolo;

gli assi dei fori devono risultare normali al gambo della rotaia;

gli spigoli dei fori devono avere uno smusso a 45° largo 2mm;

le superfici devono essere cilindriche e lisce;

su rotaie UIC 60 il diametro massimo del foro deve essere pari a 29 mm con tolleranza mm;

su rotaie UIC 60 l'altezza dell'asse del foro dalla base del gambo della rotaia deve essere di 76.25 mm con tolleranza mm;

Figura 3-10 : Limiti per foratura rotaia UIC 60: a = 47 mm; b = 212 mm;
D = 29 mm; m = 76.25 mm, n = 95.75 mm; t = 15 mm; v = 21mm;
H = 172 mm; F = 150 mm; K = 72 mm; S = 16.5 mm.

Si è pertanto optato per la realizzazione di una bussola con al suo interno una torretta a forma di prisma a sezione quadrata posizionata con due facce parallele alla sezione longitudinale della rotaia.
Le caratteristiche di base richieste al nuovo strumento sono:

· precisione attendibile;

· maneggevolezza e facilità di montaggio;

· resistenza nel tempo;

· economicità di realizzazione.

Per la misura delle deformazioni si ricorre all'estensimetria elettrica a resistenza.
Questa si basa sulla variazione della resistenza elettrica di un conduttore soggetto a deformazione.
Gli estensimetri vengono applicati sulle quattro facce della torretta interna.
Proprio per facilitare queste operazioni di incollaggio sono state valutate due varianti:

· trasduttore a corpo unico ottenuto dal pieno attraverso opportune lavorazioni di tornitura e fresatura;

· trasduttore doppio corpo composto dalla bussola di montaggio e dalla torretta di misurazione.
L'assemblaggio dei due elementi avviene con interferenza al fine di garantire la stabilità dell'insieme.

In appendice A vengono riportati i disegni di progetto, in appendice B un preventivo di realizzazione.